東京大学前期 2004年第6問 (解答解説)

片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある．この3枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う．

さいころを振り，出た目が1，2であれば左端の板を裏返し， 3，4であればまん中の板を裏返し， 5，6であれば右端の板を裏返す．

たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし， 1回目の操作で出たさいころの目が1であれば，色の並び方は「黒白白」となる．さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば，色の並び方は「黒白黒」となる．

「白白白」から始めて，3回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ．
「白白白」から始めて，回の操作の結果，色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

【解答】

3枚の板を左からとする．

(1)

「白白白」から「黒白白」になるためにはを奇数回，かつを偶数回裏返せば良い．合計の裏返す回数は回だから，を回または回裏返す場合のみである．

を1回裏返す時

あとは2回，または2回を裏返せば良いから，これらの場合の数は

か か 回 の な ら べ 方 通 り

である．

を3回裏返す時

この場合は場合の数は1通り．

全事象は通りで同様に確からしいから，もとめる確率は

である．

(2)

回目の操作後の状態を以下のようにつにわけ，これらが発生する確率をとおく：

両端が白: \
両端が黒: \
それ以外:

と，求める確率はである．また，これらは排反だから

である．

ステップ $n$ から $n+1$ における状態 $a_n, b_n, c_n$ の確率遷移図 — 図 2: ステップからにおける状態の確率遷移図

各操作ではそれぞれ確率で裏返るから遷移図は上のようになり，漸化式は

である．(式3)よりを消して，

である．

辺々足し引きして，，とすると，

である．

最初の並びが「白白白」だから，初項はである．よってに注意して漸化式をとくと，

である．よってもとめる確率は

である．

【別解】

漸化式を使わずに直接数えあげる方法もある．

を裏返した回数をそれぞれとする．求める事象ではがともに偶数だから，，とおける．

二項定理から，偶数番目の二項係数の和について

[O] を用いる．

の時

この時，よりである．箇所の中からを裏返す位置を個選び，残りからを裏返す位置を個選ぶと求める確率は

である．

の時

のときもである．同様に，

である．

したがって求める確率は

が 偶 数 が 奇 数

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【解答】

(1)

を1回裏返す時

を3回裏返す時

(2)

【別解】

の時

の時