東京大学 前期 2004年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

合同の法を とする．自然数 が，

をみたしているとする． が 3 桁以上の時 より

である．

さて，題意から平方数がと合同だから(式1)の両辺を二乗して

である．よってさらに法の合同式を考えると第一項はと合同だから

である． (式4),(式5)が成り立つ を考える． を指定すると(式5)よりが求まり， この時より

とおけるから，これを(式5)に代入して

だからさらに法の合同式を考えれば第一項はで

によっての偶奇が定まる． 以下の表に の時のそれぞれの値を列挙する．

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1
	0	0	0	0	10	20	30	40	60	80
	0	0	0	0	1	2	3	4	6	8
の偶奇	偶	偶	偶	偶	奇	偶	奇	偶	偶	偶
の偶奇	偶	奇	偶	奇	奇	奇	奇	奇	偶	奇

この表のうち が偶数になるのは， or の時である． よって題意は示された．

(2)

合同の法を とする．題意の平方数のの位との位についてだから， が偶数である．従って(1)から であるから，のの位からの位までであり，

と書ける．

の時は確かに は 10000 で割り切れるから， の時を考えると， として

となり， が平方数になるがこの下二桁の和はで偶数となり，(1)に矛盾する．よって背理法よりこのような平方数はない．

以上からであり題意は示された．\qed