アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 2004年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 2003年 次の年度 2005年
🧭 2004年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（1件）

GitHubで確認 ↗

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 2004年 第3問 (解答解説)

📝 問題

半径10の円がある． 半径3の円板を， 円に内接させながら， 円の円周に沿って滑ることなく転がす． 円板の周上の一点をとする． 点が， 円の円周に接してから再び円の円周に接するまでに描く曲線は， 円を2つの部分に分ける． それぞれの面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

円 $C$ の内部を転がる円 $D$ と動点 $P$ の幾何学的配置

図 1: 円 の内部を転がる円 と動点 の幾何学的配置

とし，はじめ と が で接しているとする． の中心を とし， の時の図は上のようになる．この時の について

が成り立つ．成分ごとに分けて書いて

である．それぞれの一階微分を計算すると

から下表をうる． ただし，が上にある時はつまり

だから，である．

表 1: ， の増減表

点 $P$ の軌跡と $x$ 軸および垂直線で囲まれる面積 $T$（斜線部）

図 2: 点 の軌跡と 軸および垂直線で囲まれる面積 （斜線部）

したがって 点 の軌跡の概形は上図である． 斜線部の面積を とすると

であり，各項計算すると

第一項第二項第三項

だから(式11)に代入して

である．

内サイクロイドの弧と外円で囲まれる領域 $S_1$（斜線部）と面積

図 3: 内サイクロイドの弧と外円で囲まれる領域 （斜線部）と面積

だから題意のうち小さい方の面積 ，大きい方のそれを として， 上のように点をおくと

図形扇形

であり，は円の面積に等しいから

である．以上まとめて

である．

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する