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東京大学 前期 2004年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2004年 第1問 (解答解説)

📝 問題

平面の放物線上の3点，，が次の条件をみたしている．

は一辺の長さの正三角形であり，点，を通る直線の傾きはである．

このとき，の値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y = x^2$ 上に正三角形 $\triangle PQR$ をなす 3 点と中線 $MR$

図 1: 放物線 上に正三角形 をなす 3 点と中線

上の点の座標をとおく．これらが正三角形をなすので，は互いに相異なる．

題意の条件からの傾きがに等しいから

である． このもとで

となり，PQ の中点を M として，， だから，

とおける．したがっては

式

と書ける．点が上にあるから代入して

である．ここに(式1)を代入してを消去すると

だから，この解は二次方程式の解の公式から，根号を繋ぐ以外は複合同順として

である．

さて，は(式2)より

だから，(式17)を代入して

である．だから求めるのは

である．

【別解】

最初からに着目して，(式9)をについて整理する方針も考えられる．(式9)の途中式

から，とすると

式

だから，代入して

である．こちらの方が計算量は少なくて済む．

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