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東京大学 前期 2004年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2004年 第5問 (解答解説)

📝 問題

を正の実数とする． 空間内の原点を中心とする半径1の球を， 点を中心とする半径1の球をとする． 球と球の和集合の体積をとする． ただし，球と球の和集合とは， 球または球の少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである．

  1. をの関数として表し，そのグラフの概形をかけ．

  2. となるとき，の値はいくらか．四捨五入して小数第1位まで求めよ．

注意：円周率はをみたす．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

半径の二つの球

について考える．これらが共有点を持つのはお互いの中心間の距離が半径の和より小さい時で

である．

の共通部分の体積をとすると，はの球の体積からを減じたもので

である．ただしの時はでの球の体積の和がとなる．

$xy$ 平面における 2 つの球の断面と重なり部分

図 1: 平面における 2 つの球の断面と重なり部分

回転体積の積分対象となる弓形領域（$\dfrac{r}{2} \le x \le 1$）

図 2: 回転体積の積分対象となる弓形領域（）

そこで以下を求める．立体の平面での切り口は上図のようになる． 対称性からは斜線部の弓形を軸まわりに回転した立体の体積の2倍で

だから(式3)に代入して求める体積はの時

である．(式3)に代入して

である．

一階微分を計算すると

で，これはで正だからは単調増加である． ，とあわせて増減表は次のようになる．

（）

表 1: の増減表 ()

よってグラフの概形は下図のようになる．

体積関数 $V(r)$ のグラフと $V = 8$ を満たす解 $r_0$

図 3: 体積関数 のグラフと を満たす解

(2)

の時，からだからである． よって(式9)にを代入して

である．ここでとすると(式9)より

だから，が単調増加（）なこととあわせて，もとめるをとすると

だから

である．

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