東京大学前期 2005年第5問 (解答解説)

を1以上の整数とする．数字が書かれたカードを1枚ずつ，計枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

(i)　甲が1枚カードをひく．そのカードに書かれた数をとする．ひいたカードはもとに戻す．
(ii)　甲はもう1回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数をとする．ひいたカードはもとに戻す．ひかなかった場合は，とする．

の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．
(iii)　の場合は，乙が1枚カードをひく．そのカードに書かれた数をとする．ひいたカードはもとに戻す．の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．
(iv)　の場合は，乙はもう1回カードをひく．そのカードに書かれた数をとする．

の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを，の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．

【解答】

甲が引いた二枚のカードの和を

とおく．甲が勝つのは以下の条件が全て満たされる時である．

と な ら な い

をで固定すると， (式2)からは

の通りである．さらに，は(式3)より

の場合だから，の通りである．

以上から，与えられたに対して甲が勝つ時にとりうるは通りである．

甲が2回目をひかずに，つまりの時を考えると，上記の議論からのとりうる組は通りである．全事象は通りだから求める確率は

である．

甲が2回目をひく時，そもそもであって，をとりうる．従って甲が勝つ場合の数は

である．これはの時の場合の数にも対応している．全事象は通りだから，求める確率は

である．