東京大学 前期 2006年 第5問 (解答解説)

【解答】

与えられた数列

について考える．

(1)

を(式1)に代入すると

である．

を数学的帰納法によって示す． の時，(式2)から

なので題意は成立する． そこで での成立を仮定するとについて

となり， でも題意が成立する． 以上より数学的帰納法によって題意は示された．

(2)

(1) から に対して である． をかんがえるので は十分大きいとして良く，上図で面積比較して，

を得る．

さらに，(式1)より帰納的に が成り立つから，挟み撃ちの定理から

である．

(3)

(式2)にを代入して

だから， として足して，

を得る． 両辺を でわって，さらに，を代入して

だから，の極限をとると最終項は(2)の結果によりに収束するから

を得る． で が連続なことから，求める極限は

である．

【別解】

(3)

まず を帰納法で示す． の時は

より成立するので， での成立を仮定する． 仮定および(式2)より

である．

ここで新しく

とおくと，一階微分は

だから，増減表は下表となる．

			（極大）

よって では つまり だから，(式15)に代入して

となる．よって でも成立する．

以上から数学的帰納法により

である．両辺にをかけて

である．とすると両辺はに収束するから， 挟み撃ちの定理より求める極限値は

である．