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東京大学 前期 2006年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2006年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を原点とする座標平面上に，軸上の点と直線が与えられている． ここで，，とする．

いま，傾きがの直線を対称軸とする対称移動を行うと， 原点は直線上の，第1象限の点に移り， 軸上の点は直線上の，第1象限の点に移った．

  1. このとき，をとで表せ．

  2. 次の条件を満たす点が存在することを示し，そのときのの値を求めよ．

    条件：どのような に対しても， 原点を通り直線に垂直な直線はとなる．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

折り目の直線 $l$ に関する対称点 $Q, R$ と直線 $m$ の位置関係

図 1: 折り目の直線 に関する対称点 と直線 の位置関係

題意より点はにあるから () とおける． はに関するの対称点だから， かつ の中点 を が通るので，

とかける． 題意よりの傾きが だから， となって，

となる．

次に点は直線上のの部分の点だから () とおける． はに関するの対称点だから同様に，

第2式をについて解いて

である．題意よりだから分子は正で，これとより分母も正であることが必要で，

となる．(式5)を(式4)の第一式に代入して整理して

である．

(2)

まずとの関係を導く．簡単のためとおくと，三倍角の公式より

である．

題意から，の傾きとの傾きの積がであり，これが で常に成立する があることを言えば良い．よって

とする．

まず(式9),(式10)からとについての関係式は

となる．ここに(式11)から を代入すると

これが についての恒等式だから，両辺 でわって分母を払うと

である．さらに とすると

である．これが恒等式になるのは の時である．よって題意は示された．

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