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東京大学 前期 2006年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2006年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を定義域とする関数について，以下の問いに答えよ．

  1. 関数 は，実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ． すなわち，任意の実数に対して，となるがただ1つ存在することを示せ．

  2. 前問(1)で定められた逆関数を とする． このとき，定積分を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

とおく． から である． 与えられた関数

について考える．

(1)

(式1)の両辺をで微分すると，合成微分から

だから は単調増加である． また，極限値は

だから，の増減表・グラフの概形は下のようになる．

表 1: の増減表

$y = f(x)$ のグラフ

図 1: のグラフ

従って任意の定数 に対し なる がただ1つある．

(2)

$y = f(x)$ のグラフと $y = 8, 27$ で囲まれる面積 $S$（斜線部）

図 2: のグラフと で囲まれる面積 （斜線部）

グラフの概形は上図で求める面積 は斜線部である． 各点を計算すると，

だから，は

図形

となる．第三項を計算すると

だから，(式12)に代入して求める面積は

である．

【別解】

(2)

(式12)は図形的な処理に頼らなくても置換積分で出てくる． とおく． なる置換をして，

であり，これは(式12)と同じである．

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