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東京大学 前期 2006年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2006年 第1問 (解答解説)

📝 問題

を原点とする座標平面上の4点，，，で，条件

を満たすものを考える．このとき，以下の問いに答えよ．

  1. ，が曲線上にあるとき，はこの曲線上にはないことを示せ．

  2. ，，が円周上にあるとき，もこの円周上にあることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

漸化式

について考える．

(1)

双曲線 $xy=1$ と漸化式によって定まる点 $P_3$ の位置関係

図 1: 双曲線 と漸化式によって定まる点 の位置関係

に対して とおくと(式1)から

である．

背理法によって題意を示す．が 上にあると仮定すると，(式6)を代入して

だが，ここで とおいて代入すると

となり，この判別式をとして となり，に反して矛盾する．よって背理法からは上にない．

(2)

単位円 $x^2+y^2=1$ 上の点列 $P_1, P_2, P_3, P_4$ と角間隔

図 2: 単位円 上の点列 と角間隔

題意よりに対して () とおく．(式1)でとして

だから，に代入して

である．

次に(式1)でとすると，

である．ここでを計算すると，

式

となり，たしかにも上にある．

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