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東京大学 前期 2006年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2006年 第4問 (解答解説)

📝 問題

次の条件を満たす組を考える．

条件(A)：，，は正の整数で，およびを満たす．

以下の問いに答えよ．

  1. 条件(A)を満たす組で，となるものをすべて求めよ．

  2. 組が条件(A)を満たすとする．このとき，組が条件(A)を満たすようなが存在することを示せ．

  3. 条件(A)を満たす組は，無数に存在することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられたの条件は

である．

(1)

の時を考えるから，で場合分けして考える．

の時

(式1)の第三式よりとなり，第一式に代入すると

だが，これを満たすは存在しない．

の時

この時は(式1)の第三式よりである．

  1. の時，第一式は となり，これをみたす自然数 はない．\

  2. の時，第一式は となり，これをみたす自然数 はない．

より，この時もは存在しない．

の時

この時は(式1)の第三式よりである．

  1. の時， となり，これをみたす自然数 はない．\

  2. の時， となり，これをみたす自然数 はない．\

  3. の時， となり， が適する．

よってこの時はが解である．

以上から求める解は

である．

(2)

が(式1)を満たすとする．新しく

とすると，

で，(1)から だからこれは必ず成立する． 次に(式1)の第一式は

から も成立する． 以上から は (A) をみたす．よって題意は示された．

(3)

数列 を，

によって定めると，

だから となる．つまり，(式8)で生成される は によって異なり，かつ (2) から (A) をみたす．よって (A) をみたす は無数に存在する．

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