東京大学 前期 2007年 第1問 (解答解説) 📝 問題 とを正の整数とし，を次数が以上の整式とする． 整式の次以下の項の係数がすべて整数ならば，の次以下の項の係数は，すべて整数であることを示せ． ただし，定数項については，項それ自身を係数とみなす． ✏️ 解答解説 【解答】 の 次以下の部分を ， とおくと の 次以下の項の係数が に属する時， の全ての項の係数も に属することを示せば良い．そこで はの時整数 とおくと，に代入して二項定理で展開すると である． 以下，題意を についての帰納法で示す． の時は(式3)より となり， だから成立する． そこで以下 () での成立を仮定する，つまりが整数だと仮定する． (式3)より の 次項は， である．仮定より右辺が整数だからも整数である． 以上から数学的帰納法により題意は示された．
