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東京大学 前期 2008年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2008年 第1問 (解答解説)

📝 問題

座標平面の点をへ移す移動を考え，点が移る行き先をと表す． を用いて直線，，，を以下のように定める．

  1. ・　は直線である．

  2. ・　点が上を動くとき，が描く直線をとする．

以下を1次式を用いてと表す．

  1. ，を，で表せ．

  2. 不等式が定める領域をとする． ，，，すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

によって 点 が 点 にうつるとすると

である． 従って は， にうつるので係数を比較して，

である．これが求める漸化式である．

(2)

初期条件は題意より

である． (式2)からを消去すると

なので，これを(式3)よりと合わせて解くと

である．従って(1)から直線の方程式は

である．これをと合わせて図示すると下図である．

直線 $l_0$ と一般の直線 $l_n$

図 1: 直線 と一般の直線

さて，切片である は について単調に増加し，で共に 1 に収束する． と の交点 はにかかわらず であり， の傾きを

とすると，簡単のため として

だから， は単調増加で， となる．以上から はと

の間を動く．これを図示すると下図の斜線部（境界は実線のみ含む）である．

直線 $l_n$ が動く通過領域（$l_0$ と $l_\infty$ の間）

図 2: 直線 が動く通過領域（ と の間）

従って，全てのについてとなる領域は下図の斜線部（境界は実線のみ含む）である．

すべての $n$ について $a_n x + b_n y > 1$ を満たす領域（斜線部）

図 3: すべての について を満たす領域（斜線部）

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