東京大学 前期 2008年 第6問 (解答解説)

【解答】

与えられた曲線を

とおく．一階微分は

である．従って増減表は以下のようになる．

ここで，（に対応）以外にグラフの交わる点があると仮定し，対応するをとすると（），だから

である．で, でだから，またはで考えればよい． (式3)の第一式より

であり，(式3)の第一式に代入して

となるが，この時どちらのケースもとなって矛盾する． よって背理法により以外に交点はなく，のグラフは下図のようになる．

そこで求める面積のうち，に含まれるものを，に含まれるものをとすると，

である．それぞれを計算すると

および

である．ここで(式1)よりこれらの被積分関数は

だから不定積分は積分定数を抜いて

である．よって

だから，(式7),(式8)より

となって，(式6)に代入して

である．