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東京大学 前期 2008年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2008年 第4問 (解答解説)

📝 問題

放物線上に2点，がある．線分の中点の座標をとする．

  1. 線分の長さと傾きで，を表せ．

  2. を固定したとき，がとりうる値の最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y = x^2$ 上の弦 $PQ$ とその中点 $M(l, h)$

図 1: 放物線 上の弦 とその中点

上の二点を， とおく． ただし

とおく．の中点をとおくと

である．また線分の方程式は

である．

(1)

線分の長さと傾きを表すと

である．第二式に第一式を代入して

である．よって(式2)を変形してを代入すると

である．

(2)

(式4)から

だから，はの2次式

の2実解で，判別式をとして

となりによらずだからは任意の実数値をとる． とおくとしたがってである．(式6)に代入して

である．この最小値を計算すれば良い．両辺で微分して

において，よりこの符号はの符号と一致する． よってによっての挙動は以下のようになる．

の時

表 1: の増減表

の時はでは単調増加になるからで最小値

をとる．

の時

この時はの増減表は以下のようになる．

表 2: の増減表

したがってで最小値

をとる．

以上(式12),(式13)をまとめて求めるの最小値は

である．

$L$ に対する中点の高さの最小値 $\min h(L)$ のグラフ

図 2: に対する中点の高さの最小値 のグラフ

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