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東京大学 前期 2009年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2009年 第4問 (解答解説)

📝 問題

を正の実数とし，空間内の2つの円板

  1. ，

を考える． を軸の回りに回転してに重ねる． ただし回転は軸の正の部分を軸の正の方向に傾ける向きとする． この回転の間にが通る部分をとする． の体積をとし，ととの共通部分の体積をとする．

  1. を求めよ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

空間内の2つの円盤 $D_1, D_2$，平面 $y=s$ による切断線分（赤線），および $y$ 軸まわりの回転

図 1: 空間内の2つの円盤 ，平面 による切断線分（赤線），および 軸まわりの回転

与えられた円盤

について考える．以下簡単のためと書く．

(1)

平面 $y=s$ における円盤の切断線分

図 2: 平面 における円盤の切断線分

平面 $y=s$ における切断面（$x \ge 0$ の半円環 $S(\theta)$）

図 3: 平面 における切断面（ の半円環 ）

対称性からで考えよう． で切断すると(式1)は

という二本の線分であり， この部分を 軸まわりに回した時の概形は上図のようになる．

特に をみたす部分の面積 は 半径との二つの円の間のドーナツ型の部分の面積だから

だから，対称性から求める体積は

となって，

である．

(2)

$x \le 0$ における切断面の領域 $T(\theta)$（上下の縦線部）

図 4: における切断面の領域 （上下の縦線部）

のうち のものの における切断面の面積 は，

であり，これをについて積分すればのうちの部分になるから

となる．以下の極限を考えるので，(式13)の第二項の での極限値を考えれば良い．

ここで， において， だから，

同区間で積分して， からなので

だから，(式12)より

である．これを で積分して，

である．よりだから置換積分によって

である．ここで最後の不等号はより従う． 再右辺にをかけて

である．で右辺はに収束するから挟み撃ちの定理より

であり，(式13)に代入して(1)の結果と合わせて，求める極限値は

である．

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