東京大学前期 2009年第6問 (解答解説)

平面上の2点，の距離をと表すことにする．平面上に点を中心とする一辺の長さが1000の正三角形がある．の内部に3点，，を，となるようにとる．また，

とおく．のそれぞれに対して，時刻0にを出発し，の向きに速さ1で直進する点を考え，時刻におけるその位置をと表すことにする．

ある時刻でが成立した．ベクトルと，ベクトルとのなす角度をとおく．このときとなることを示せ．
角度，，を，，によって定義する．をかつをみたす実数とする． (1) と同じ仮定のもとで，の値のとる範囲をを用いて表せ．
時刻，，のそれぞれにおいて，次が成立した．

このとき，時刻において同時に

が成立することを示せ．

【解答】

(1)

正三角形 $\triangle A_1A_2A_3$ 上の動点 $P_1(t), P_2(t)$ の運動と最接近条件 — 図 1: 正三角形上の動点の運動と最接近条件

原点からのベクトルを考えると

である．また，

とおく．を計算すると

式

である．

題意から，これが以下になるようながあるので

をみたすがあった．左辺をとしての判別式とするとからこのような条件は

である．従ってである．

(2)

正三角形 $\triangle A_1A_2A_3$，方向角 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ および動点 $P_n(t)$ — 図 2: 正三角形，方向角および動点

(1)で定義したとの成す角をで表すことで，のとりうる範囲を求める．

(1)の仮定および題意より

である．特にはの成す角だからであることと合わせて

である．

$\vec{a}_1, \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{d}$ となす角の関係 — 図 3: となす角の関係

さてとのなす角がだから，内積の定義より

である．同様にと , とについて

が成り立つ．これを代入して

である．

$\vec{e}_1, \vec{e}_2$ のなす角 $\dfrac{2}{3}\pi + \theta_2 - \theta_1$ — 図 4: のなす角

次にとのなす角はだから，について

となる．から，

だから，

を得る．(式24)を(式19)に代入すると

である．分子を和積の公式で書き換えて

である．ここで(1)よりだからなので，

となる．

単位円上における偏角 $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}$ と許容区間の比較 — 図 5: 単位円上における偏角と許容区間の比較

左辺は(式15)より，を動かした時に

の範囲を動く．

右辺についてはから，

の範囲に納まるから，偏角を比較してのとりうる範囲は

である．

(3)

題意の時，対称性から(式32)と同様の式

が成り立つ．(式33)の辺々足して

で，(式32)を引くと

を得る．対称性からについても同様の式が成立し，まとめて

である．

に対して

である．

であり，をとの成す角とする． (式37)の両辺二乗して，に注意すると

より，

が従う．

頂点 $A_2$ における角 $\theta_2$ と $\beta_2 = \angle(\overrightarrow{OA_2}, \vec{e}_2)$ の場合分け — 図 6: 頂点における角との場合分け

ここでとについて上図から

である．

の時

(式36),(式43)から，について

が成り立つ．両辺をとって

である．この右辺について

だから，(式42)より

となり題意は成立する．

の時

(式36),(式43)から，について

が成り立つ．これはと同様の式だから，この場合も題意は成立する．

以上から，たしかにがで成立し，題意は示された．

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【解答】

(1)

(2)

(3)

の時

の時