東京大学 前期 2009年 第1問 (解答解説)

【解答】

以下として考える． は を割り切ることが必要で，すなわち は の約数であることに注意する．

(1)

が素数の時，がを割り切るから が必要である．

以下， に対し， が で割り切れる（すなわちである）ことを示す． 二項係数の性質から

である．ここでが素数かつだからは互いに素で，かつ左辺は自然数だから となる． 従ってたしかに は の倍数である．

以上から， が従い題意は示された．

(2)

とおき，任意の自然数についてがで割り切れることを示す． の時はで自明にで割り切れるから，以下 での成立を仮定し， での成立を示す．具体的にを計算すると

である．第一項についてはの定義によりで割り切れる． 第二項は仮定よりで割り切れる．よって右辺がで割り切れるから も で割り切れる．

以上から でも成立し，数学的帰納法によって題意は示された．

(3)

が偶数の時，二項定理から

である． は で割り切れるので，第一項のもで割り切れることが必要である．すなわち

である．