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東京大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2010年 第1問 (解答解説)

📝 問題

3辺の長さがととの直方体を， 長さがの1辺を回転軸として回転させるとき， 直方体が通過する点全体がつくる立体をとする．

  1. の体積を，，を用いて表せ．

  2. のとき，の体積のとりうる値の範囲を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

回転軸 $l$（$z$ 軸）と直方体の 3D 配置

図 1: 回転軸 （ 軸）と直方体の 3D 配置

$xy$ 平面における $\pm \dfrac{\pi}{2}$ 回転による通過領域（面積 $S$ は共に一致）

図 2: 平面における 回転による通過領域（面積 は共に一致）

上図のように回転軸 を軸に，の辺を軸，の辺を軸にとる． どちらの方向に回転させても，平面での立体の面積は半径と二辺がの直角三角形二つの合計だから，求める体積は

である．

(2)

与えられた条件

の元で(式1)のとりうる範囲を示せば良い．

, とおくと，は二次方程式

の解である． は0より大きい実数だから，条件は

判別式軸端点

である．

(式2) から

で から

である．(式5)に代入して

である．この領域をを図示すると下図の斜線部（境界は実線部のみ含む）になる．

$(式8)$ を満たす $(\alpha, \beta)$ の存在領域（斜線部，放物線境界のみ含む）

図 3: 式 を満たす の存在領域（斜線部，放物線境界のみ含む）

(式1)に代入して は を用いて

である．これは図の区間内では の単調減少関数だから， を固定すると，

である．ここで

とおくと(式13)は

である．の一階微分を計算して

だからの増減表は以下のようになる．

01
0
00

表 1: の増減表

したがって， だから(式15)とあわせて，

である．

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