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東京大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2010年 第2問 (解答解説)

📝 問題

  1. すべての自然数に対して，次の不等式を示せ．

  2. であるようなすべての自然数とに対して，次の不等式を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた不等式

について考える．真ん中の項について

とおいて積分すると

だから より(式1)に代入して

である．

下に凸な曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ と接線台形・弦台形による面積評価

図 1: 下に凸な曲線 と接線台形・弦台形による面積評価

ここで真ん中の積分について上図のように上下から台形で挟んで面積を比較して，

であり，(式10)と比べて

とあわせて，

だから(式10)は示された． よって不等式は成立である．

(2)

与えられた不等式

を示す．

(式8)でとして足し合わせて

である．和の区間をに合わせて

である．よって(式15)の右側の不等式は示された．

級数 $\displaystyle\sum_{k=n+1}^m \dfrac{1}{k^2}$ の長方形和（斜線部）と単調減少な曲線 $y = \dfrac{1}{x^2}$ の面積比較

図 2: 級数 の長方形和（斜線部）と単調減少な曲線 の面積比較

左辺の は上図の斜線部の領域だから，面積を比較して

だから，(式18)に代入して

である．よって題意は示された．

【別解】

(1)

下に凸な曲線 $y = \dfrac{1-x}{x+k}$ と2つの直角三角形 $\triangle OAC, \triangle OAB$ による面積評価

図 3: 下に凸な曲線 と2つの直角三角形 による面積評価

とおくと，

でこれは下に凸だから，のグラフの概形は上図のようになる． 下からはでの接線で，上からはを結んだ線分で挟むと，

である．従って

を得る．

(2)

(式18)から左側の不等式は以下のように積分なしでも全く同じ評価ができる．

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