東京大学 前期 2011年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

とする． から， である． 従って

だから以下帰納的にである．

(2)

まず だから，これがとなるために

が必要である．このもとで漸化式から

だから以下の最大の整数を として

である．この方程式を解いて

だから，(式2)に代入して

である． から複合正が正しく(式5)は

である．

この元で不等式の各項0以上だから2乗してよく，

を得る． よりこれを満たすのは である． (式8)に代入して

である．この時帰納的にとなるから求めるはこの二つである．

(3)

と は互いに素であるとする． かつ の時条件 (ii)から である．

の時は明らかに題意は成立するから以下 とする． を で割った商を ，あまりを として

とかく．

の時は となり題意は成立するから以下 とする． この時

となる． を で割った商とあまりを， とすると

ならば ， ならば を で割った余りを とする．以下同様に， に対し， なら ， なら を で割ったあまりを とする．（ただし ） ここで， 以下の自然数 で， となるものが存在しないと仮定すると，

なる自然数 が得られて矛盾する． よって となるものが存在しこの時 以上の全ての自然数に対し， となる． 以上から題意は示された．