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東京大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2012年 第2問 (解答解説)

📝 問題

図のように，正三角形を9つの部屋に辺で区切り，部屋 ， を定める． 1つの球が部屋 を出発し，1秒ごとに，そのままその部屋にとどまることなく， 辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する． 球が 秒後に部屋 にある確率を求めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

正三角形内の対称な領域分割と球の状態遷移図

図 1: 正三角形内の対称な領域分割と球の状態遷移図

上図のように を定める． とすると球は 秒後にのみ にある． 対称性から， 秒後に球が にある確率は とおける． 題意から以下の漸化式をうる．

ここで， 秒後には球はのいずれかにあるから

である．(式1)に代入して を消去すると

である．初期条件は だから，漸化式を繰り返し用いて

だから，もとめる確率は

である．

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