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東京大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2012年 第1問 (解答解説)

📝 問題

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域を考える．

直線は原点を通り，との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ の最大値を求めよ．また，が最大値をとるとき， 軸とのなす角 の余弦を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

領域 $D$（斜線部）と直線 $l$ および弦 $AB$

図 1: 領域 （斜線部）と直線 および弦

与えられた図形を

とし，円との交点を

とおく．

題意を満たす は明らかに傾き正だから

とかける． 以下簡単のため と表す． すると 軸と とのなす角 として，

であり， と との交点のうちを満たすものの座標は連立して

である．との交点を， から軸に下ろした垂足をとすれば求める長さは

である．以下この最大値を求める．

領域 $D$ を横切る線分 $PQ = L$ と$x$軸への垂線の足 $P', Q'$

図 2: 領域 を横切る線分 と軸への垂線の足

(式8)をで微分すると

である．(式4)よりだからこの符号は

である． ここで は をみたすとする．との大小について，

だから，の区間内での単調増加性より

である．

以上よりの増減表は以下のようになる．

……

表 1: の増減表

したがって， の時に最大値をとる．

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