東京大学 前期 2012年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

背理法で示す． 連続 2 自然数の積が 乗数になるものがあると仮定し，それを () とおくと， として

とかける．とが互いに素だから， が共に 乗数であることが必要で， として

とかける． を消去して

である．ここでが以上の自然数だから

となって，これらの積はにはならないから矛盾する． よって背理法によって題意は示された．

(2)

(1)で での成立は示されたので， とする． (1) と同様にして，以上の整数から始まる連続整数の積

が 乗数だと仮定する．として

とかける．(式5)から，は上下で評価すると

だから，(式6)を代入して

である．従って とかけるが， は と互いに素な を因数に持ち不適である． 従って矛盾し，背理法により題意は示された．