アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 2011年 次の年度 2013年
🧭 2012年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（1件）

GitHubで確認 ↗

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 2012年 第3問 (解答解説)

📝 問題

座標平面上で2つの不等式

によって定まる領域をとする．を軸のまわりに回転してできる立体の体積をとし， 軸のまわりに回転してできる立体の体積をとする．

  1. との値を求めよ．

  2. の値と1の大小を判定せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $C_1$ と楕円 $C_2$ で囲まれる領域 $S$（斜線部）

図 1: 放物線 と楕円 で囲まれる領域 （斜線部）

与えられた領域

を図示すると上図の斜線部のようになる．これは軸に関して線対称である． 簡単のため

および，逆関数を

とおく．

(1)

領域 $S$（$x \ge 0$）の $x$ 軸周りおよび $y$ 軸周りの回転による求積の幾何構造

図 2: 領域 （）の 軸周りおよび 軸周りの回転による求積の幾何構造

(式1)を軸の周りに回転した立体の体積は，対称性からの部分を軸周りに回転させた領域の倍だから

である．

ついで(式1)を軸の周りに回転した立体の体積は，対称性からの部分を軸周りに回転させてれば良いから

である．

(式8),(式15)をまとめて

である．

(2)

(式16) から，

だから

である．ここで

の平方根を取れば

だから(式20)は成立する．よって

である．

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する