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東京大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2011年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を正定数とする． 座標平面の軸上の正の部分にある点に対し， 原点を中心とし点を通る円周上を， から出発して反時計回りに道のりだけ進んだ点をと表す．

  1. ，を求めよ．

  2. の範囲の実数に対し，積分

    を求めよ．

  3. 極限を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

半径 $t$ の円周上を進む点 $Q$ と弧長 $L$・中心角 $\dfrac{L}{t}$ の幾何関係

図 1: 半径 の円周上を進む点 と弧長 ・中心角 の幾何関係

題意の円周は と半径だから，この円周上を偏角だけ進んだ点がで，

である．

(2)

(式1)の両辺をで微分して

だから，

である． から，

で， とすると， だから , として

である．

(3)

とおくと(式11)より

である．各項の極限をとると

だから，(式14),(式15),(式16),(式18)を(式13)に代入して求める極限値は

である．

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