アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 2010年 次の年度 2012年
🧭 2011年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（1件）

GitHubで確認 ↗

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 2011年 第5問 (解答解説)

📝 問題

，を2つの正の整数とする． 整数，，で条件

を満たすものを考え， このような，，をの形に並べたものをパターンと呼ぶ． 各パターンに対して

とおく．

  1. パターンのうち，となるものの個数を求めよ． また，となるパターンの個数を求めよ．

以下の場合を考える．

  1. を整数とする． パターンでとなるものの個数を求めよ．

  2. パターンの総数を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた条件

について考える．

(1)

$(a, b)$ 平面における基本領域（青斜線部）と極値をとる点 $(p, 0), (0, -q)$

図 1: 平面における基本領域（青斜線部）と極値をとる点

について

まず前者の条件についてかんがえる． 与えられた条件は

である．(式1)からだから，(式2)を満たすには が必要で，(式1)から とすれば十分である． よって，求める個数は 個である．

について

次に後者の条件についてかんがえる． 与えられた条件は

である．(式1)から だから，(式3)を満たすには が必要で，(式1)から とすれば十分である． よって求める個数は 個である．

以上から

個個

である．

(2)

の時， に対して

である．(式1)より だから，

である．(式5)から だから(式1)に代入して

の時のみ，各 に対して がただ1つ対応する． (式1)より

でもあるから，(式7),(式8)を満たすについて， (式6)の範囲でを動かして検討する．

$(s, a)$ 平面における条件の領域（斜線部）と $s = p$ による場合分け

図 2: 平面における条件の領域（斜線部）と による場合分け

(i) の時

この時は(式7),(式8)は

となる．各 に対し， は

通り

あるから，全部で

通りである．

(ii) の時

この時は(式7),(式8)は

となる．(i)と同様に，全ての場合の数は

である．

以上(式12),(式15)をまとめて，求める数は

である．

(3)

(式16)を について和をとれば良く， から

である．

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する