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東京大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2011年 第6問 (解答解説)

📝 問題

  1. ，を実数とし，とする． を変数とする2次関数のにおける最大値と最小値の差を求めよ．

  2. 次の条件を満たす点全体からなる座標平面内の領域をとする．

    1. かつ，実数での範囲の全ての実数に対して

      を満たすようなものが存在する．

    の概形を図示せよ．

  3. 次の条件を満たす点全体からなる座標空間内の領域をとする．

    1. かつ，の範囲の全ての実数に対して，

      が成り立つ．

    の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

軸 $t = -\dfrac{y}{2x}$ の位置による $0 \le t \le 1$ での最大値・最小値の4つの場合分け

図 1: 軸 の位置による での最大値・最小値の4つの場合分け

からは二次式であり

である．従ってこのでの最大最小値は軸と端点の位置関係で以下のようになる．

の時の時の時の時

さらに, , だから， より， の値は

の時の時の時の時

である．

(2)

題意の不等式を変形して

だから，これがなる任意ので成立するには， の値域の幅が以下ならば必要十分である．すなわち

ならば良い．(式3)よりこの条件は

の時の時の時の時の時の時の時の時

である．これを図示すると下図斜線部（境界は，軸以外含む）となる．

$(x, y)$ 平面における軸の位置による 4 つの領域分割

図 2: 平面における軸の位置による 4 つの領域分割

条件 $\max f(t) - \min f(t) \le 1$ を満たす $(x, y)$ の存在範囲（斜線部，$y$ 軸上を除く）

図 3: 条件 を満たす の存在範囲（斜線部， 軸上を除く）

(3)

与えられた不等式

が の全ての で成立するのは， での, として，

の時である．(式2)よりこのような条件は

の時の時の時の時の時の時の時の時

である．これと題意より

である．

また， の時の条件は

である．

したがって であり， での立体の断面は下図のようになる．

高さ $z$ における立体の断面形状（左：$0 < z \le 1$，右：$z = 0$）

図 4: 高さ における立体の断面形状（左：，右：）

高さ $z$ における断面 $S(z)$

図 5: 高さ における断面

この面積 はの時

台形三角形放物線領域

であり，各項の面積を個別に計算すると

台形三角形放物線領域

だから(式14)に代入して

である．これは でも成立するから求める体積は

である．

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