東京大学前期 2010年第6問 (解答解説)

【解答】

直方体内部における四面体 $OABC$，拡張された平面 $L$，および外側にある垂足 $H$ — 図 1: 直方体内部における四面体，拡張された平面，および外側にある垂足

上図のようにを原点とする空間座標をとる．に対してとおく．

だから，

である．点 X に対し，とおくと(式1),(式2)より

である．

(1)

は上の点だから

と表せる．だから，かつである．(式4)を代入して

となる．(式3)を代入して

である．(式4)より

である．

(2)

四面体 $OABC$ と切断面 $\triangle P_tQ_tR_t$ — 図 2: 四面体と切断面

直線との交点をとすると，実数を用いてとかける．からに下ろした垂足とすると，の相似より

となる．ただし(式7)を用いた．これが直線上にあるので，実数を用いて

とも書ける．は1次独立だから，(式8),(式10)で係数を比較して

となる．がより小さければは線分上にあって平面による四面体の切り口は自身である．がより大きければは線分上にないので切り口はとの交点として四角形である．それぞれのケースを個別に考える．

つまりの時

切断面における三角形 $\triangle P_tQ_tR_t$ の平面図 — 図 3: 切断面における三角形の平面図

切り口は上図のようになり，この三角形の面積は

である．それぞれの長さを求めよう．

$\triangle OP_tQ_t \sim \triangle OAB$ の相似関係（比 $t : 1$） — 図 4: の相似関係（比）

まずについて，の相似比がだから

式

である．

$\triangle OR_tH_t \sim \triangle OCH$ の直角三角形相似による高さ $|R_tH_t|$ の導出 — 図 5: の直角三角形相似による高さの導出

ついでについて，の相似比がだから

式

だが，(式7)よりは

となり，(式14)に代入して

である．

(式13),(式18)を(式12) に代入して

である．

つまりの時

切断面における四角形（台形）$T_tS_tP_tQ_t$ の平面図（手書きスケッチの再現） — 図 6: 切断面における四角形（台形）の平面図（手書きスケッチの再現）

まずはとの交点のベクトル表現を求める．は線分の上にある．についても同様に考えてとして

とかける．題意と(2)から

を代入して

である．は1次独立だから係数比較して

である．

切り口の面積は，の相似比がであることより

台 形

である．(式19)の議論はの場合も有効だから(式19),(式24)を代入して

である．

(式19),(式29)をまとめて

である．

(3)

(式30)よりの時はは単調増加であり，で連続で，の時はで最大値をとる．従って全体の最大値もの時であり，その最大値は

である．

この問題のOpen Issue（1件）

【解答】

(1)

(2)

つまり の時

つまり の時

(3)

つまりの時

つまりの時