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東京大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2010年 第4問 (解答解説)

📝 問題

を原点とする座標平面上の曲線

と，その上の相異なる2点，を考える．

  1. を通る軸に平行な直線と，直線との交点を，それぞれ とする． このときとの面積は等しいことを示せ．

  2. とする． このときのの範囲にある部分と， 線分，とで囲まれる図形の面積を，，を用いて表せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた曲線を

とする．

曲線 $y = f(x)$ の概形

図 1: 曲線 の概形

(1)

曲線 $y = f(x)$ の概形と三角形 $\triangle OP_1H_1, \triangle OP_2H_2$

図 2: 曲線 の概形と三角形

題意の直線は各々 であるから， となる． の面積 とすると，はサラスの公式から

となり， は によらない一定値となる．よっても同じ値になりである．よって題意は示された．

(2)

求める領域 $S$（青斜線）と等積な図形 $P_2H_2H_1P_1$（赤斜線）の幾何学的対応

図 3: 求める領域 （青斜線）と等積な図形 （赤斜線）の幾何学的対応

の時，図形の概要は上図のようになる．から軸におろした垂足をとする． と の交点をとすると，求める面積は

図形

である．(1)からだから

図形図形図形図形図形図形

である．の正負に応じて以下のパターンが考えられる．

$x_1, x_2$ の符号による図形 $P_2H_2H_1P_1$（斜線部）の3つの配置パターン

図 4: の符号による図形 （斜線部）の3つの配置パターン

それぞれ式に起こすと

台形図形台形図形図形台形図形

だが，これは符号付きの面積を考えると

台形

と統一的に扱える．以下個別に項を計算する．

図形の面積を求めるため，を逆にとくと

であり，図から だから両辺 以上なので2乗して

である．

従って

図形

である．また，

台形

である．

(式18),(式19)を(式12)に代入して求める面積は

台形積分

である．

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