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東京大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2011年 第1問 (解答解説)

📝 問題

座標平面において，点を中心とする半径1の円をとする． をを満たす実数とし，直線ととの交点を，とする．

  1. の面積を求めよ．

  2. がの範囲を動くとき，が最大となるを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

円 $C$ と定点 $(-1, 0)$ を通る直線 $l$ の概要図

図 1: 円 と定点 を通る直線 の概要図

題意の円と直線は

である．

(1)

円 $C$ と直線 $l$ の交点 $Q, R$，垂線 $PH$，および三角形 $\triangle PQR$（斜線部）

図 2: 円 と直線 の交点 ，垂線 ，および三角形 （斜線部）

Pから に下ろした垂足を H とすると，の面積は

である．

点と直線の距離公式から

だから，に三平方の定理を用いて

である．(式3),(式4)を(式2)に代入して

である．

(2)

の時(式5)で絶対値を外して

である．根号の中身をとおく：

と，一階微分は

だから，およびの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

したがって， は で最大値をとる．

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