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東京大学 前期 2013年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2013年 第3問 (解答解説)

📝 問題

，の2人がいる． 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれのコインが1枚あり， 最初はがそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

  1. がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出ればに1点を与え，コインはがそのまま持つ． 裏が出れば，両者に点を与えず，はコインをに渡す．

  2. がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出ればに1点を与え，コインはがそのまま持つ． 裏が出れば，両者に点を与えず，はコインをに渡す．

そして，のいずれかが2点を獲得した時点で，2点を獲得した方の勝利とする． たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点では1点，は2点を獲得しているのでの勝利となる．

  1. ，あわせてちょうど回コインを投げ終えたときにの勝利となる確率を求めよ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

以下 とする．各回で誰がコインを投げたかを左から順に並べることにすると， このが並んだ順列がゲームのパターンに一対一対応する．

コイン投げの推移と順列 $A, B$ の一対一対応の例（$n=6$ で $A$ が勝利する場合）

図 1: コイン投げの推移と順列 の一対一対応の例（ で が勝利する場合）

回コインを投げた時に A が勝つのは以下の条件を全て満たした時である．

  1. 回目の試行の前に A がコインを持つ．

  2. 回目にAがコインを投げて表がでる．

  3. 回目までに A が1点，B が0点又は1点である．

そこでの点数で場合分けして考える．

B が 0 点の時

が点，が点の時，が点をとった時以外は常に相手にコインが渡り続ける． 最初がコインを持っていて回目にもがコインを持っているから，は偶数である．

$B$ が 0 点の場合（$n=2m$）の順列の構成法

図 2: が 0 点の場合（）の順列の構成法

従って回のコイントスをの順で繰り返し，途中に一回だけが連続すれば良い．最後回目は必ずがコイントスする．とすると，が回繰り返され，最後がで固定されている順列の中で，どれか一つを選んで連続するを作れば良いから，場合の数は通りである．

B が 1 点の時

が共に1点となるのは，が点をとった時以外は常に相手にコインが渡り続ける． 最初がコインを持っていて回目にもがコインを持っているから，は奇数である．

$B$ が 1 点の場合（$n=2m+1$）の順列の構成法

図 3: が 1 点の場合（）の順列の構成法

従ってとすると，が回繰り返し最後がで固定されている順列の中で，とをどこかに追加すれば良い．は最後のには追加できないから通り，の追加場所は通りで，合計通りの場合の数がある．

全事象は 通りで同様にたしからしいから求める確率は

である． の時も だからこの表式で良い．

(2)

とおく． まず の時，(式1)から

である．

ここで， とおくと，

となる．

とを比較して

だから辺々引いて

である．

同様にとを比較して であり，

の辺々引いて，

である．

(式10),(式14)での極限をとると

だから，(式6)に代入して

である．

次にの時はより

だから，(式16),(式17)より任意のに対して

である．

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