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東京大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2014年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を実数とする．座標平面上の2つの放物線

を考える． とが共有点をもつようなの値の範囲は， ある実数，により，と表される．

  1. ，の値を求めよ．

  2. がをみたすとき， との共有点を，とする． ただし，共有点が1点のみのときは，とは一致し， ともにその共有点を表すとする．

    をの式で表せ．

  3. (2)で得られるの式をとする．定積分

    を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた放物線

について考える．

放物線 $C_1, C_2$ の共有点 $P, Q$ と原点 $O$

図 1: 放物線 の共有点 と原点

(1)

とが共有点を持つ時，を消去した

が実解を持つ．判別式をとして だから，

となり，求める値は

である．

(2)

与えられた式をとして

を求める．

は(式3)の実数解である． 対称性からとしてよい．

は上の点でもあるから

なので(式6)に代入して

である．

ここで，だから，(式3)の解と係数の関係および解の公式より

である．(式12)に代入して

である．

(3)

とおいて(式15)に代入して

であるから，(1)のの値を用いて求める定積分は

である．ただし奇関数の積分がになることを用いた． 以下各項を計算する．

まず第一項はとおくとだから，

第一項

である．

第二項は，半径の四分円の面積に等しく，

第二項

である．

以上を(式21)に代入して

である．

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