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東京大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2014年 第1問 (解答解説)

📝 問題

1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱 を考える． 3点 ，， を，それぞれ辺 ，辺 ，辺 上に， 4点 ，，， が同一平面上にあるようにとる． 四角形 の面積を とおく． また， を ， を とおく．

図 1

図 1

  1. を と を用いて表せ．

  2. ， であるとき， の値を求めよ． さらに， のとき， の値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

\texttt{tikz-3dplot} による視点指定（$\theta=65^\circ, \phi=115^\circ$）

図 1: \texttt{tikz-3dplot} による視点指定（）

上図のように空間座標をとる． は

となる． 四角形 は平行四辺形だから，その面積は

となる．

(2)

とおく． より， 加法定理から

である．(式5)をで書き直すと

である．題意より を代入して(式7)からを消去すると

である． より だから複号正を採用して，

となる．(式7)に代入して

だから， は次の2次方程式

の2解であり，これを解くと となる．

の時は （ で は単調増加）だから，

である．

以上(式13),(式16)をまとめて

である．

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