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東京大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2014年 第4問 (解答解説)

📝 問題

，は実数の定数で，，をみたすとする．関数

を考える．

以下の問いに答えよ． 必要であれば，不等式が すべての実数に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．

  1. のとき，であることを示せ．

  2. はをみたす実数とする． 数列の各項 を，

    によって順次定める．であるとき，

    となることを示せ．

  3. であるとき，

    をみたす実数が存在することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関数

について考える．

関数 $y=f(x)$ の様子

図 1: 関数 の様子

(1)

(式1)及びからだから，

が成り立つ．辺々加えて

を得る．

(2)

(1)及びから，帰納的に任意のに対して

である．従って(式1)と合わせて

が成立することに注意する． を上から評価すると

式式

である．両辺絶対値をとってくり返し用いると，

を得る． ここで題意よりだから，(式1)と合わせて

だから(式10)においてとすれば右辺はに収束する． 従って挟み撃ちの定理から

である．よって題意は示された．

(3)

$p < q$ における $y=f(x)$ と $y=x$ の交点（不動点 $x^*$）の存在

図 2: における と の交点（不動点 ）の存在

とおくと，かつなるがあることを示せば良い． この区間では(式1)より

であることに注意して，具体的にを計算すると

式

である．この右辺をとおく：

と，一階・2階微分は

となっては単調減少である． さらににおいて

だから区間内では一回符号を変え，なるがに存在する． 従っての増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

補助関数 $y=h(x)$ のグラフと極大値 $h(\alpha) > 0$

図 3: 補助関数 のグラフと極大値

だから増減表より

なるがに存在する．これと

であること，およびが連続であることから，の間でなるが存在する．

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