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東京大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2014年 第6問 (解答解説)

📝 問題

座標平面の原点をで表す．

線分 上の点と， 線分 上の点が， 線分と線分の長さの和が6となるように動く． このとき，線分の通過する領域をとする．

  1. ををみたす実数とするとき， 点がに入るようなの範囲を求めよ．

  2. を図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

半直線上の点 $P, Q$ と直線 $PQ$ の配置概要図

図 1: 半直線上の点 と直線 の配置概要図

，とする．この時，

とする．

だから題意の条件に代入して

である．

さて直線の方程式は

である． (式3)からだから(式1),(式4)に代入して

である．

を動かした時の(式6)の動く範囲のうち，半直線より上側の領域がである． (式6)をについて平方完成すると

であり，これは上に凸な放物線で頂点がである．

頂点 $\beta = \dfrac{x-3}{2}$ と $\beta$ の定義域 $[-2, -1]$ の位置関係

図 2: 頂点 と の定義域 の位置関係

頂点 $\beta = \dfrac{x-3}{2}$ の位置による $f(\beta)$ の最大・最小の4つの場合分け

図 3: 頂点 の位置による の最大・最小の4つの場合分け

(式6)の範囲でののとりうる値は従って，

の時の時の時の時

である．これと

から，領域を図示すると下図のようになる． ただし，直線, はそれぞれ でと交わる．

線分 $PQ$ の通過領域 $D$（斜線部，境界を含む）

図 4: 線分 の通過領域 （斜線部，境界を含む）

これらをまとめると

の時，の時，

である．

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