【解答】
図 1: 立体 の外殻（ からの放射状稜線）と切断面円盤スライス
(1)
図 2: 平面における正方形 ，直線 ，交点 ，および直線
の表面上の点 とする．
直線の方程式はであることに注意して，これに垂直な直線
での立体の切断面を考える．対称性からに絞って考えて良い．
四角形とこの直線はの時辺との時辺と，それぞれ交わるからこれらをとすると
である．
とおくと，いずれの場合も
だから，での切断面はを中心とした半径の円である．
図 3: に垂直な断面における円と点 のパラメータ表示
従ってこの座標は，とおくとこの断面上の点は
と書ける．この座標がの時, とすると
だから，まず第一，第二式から
である．ついで第一式と第三式から
である．(式6)からだから代入して
である．の値に応じて絶対値を外して
である．ただし最終行での存在条件から右辺が以上であることに注意してに制限をかけた．
この切り口を図示すると下図の斜線部となる．
図 4: による切断面
この面積をとする．
対称性よりの部分の面積の倍だから方向に積分して，に注意して
である．
(2)
対称性から，求める体積を , のうち のものを として，
である．
図 5: における共通部分 の断面 （紫斜線部）
ここでをで切った時の切断面はの切断面を軸に関して折り返したものだから，共通部分は上図のようになる．
この面積 は対称性よりでを積分したものの二倍だからの時
であり，の時のもこの表現で良い．
従って，これをで積分して
(式23)より
となり，(式23)からから求める体積は
である．
