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東京大学 前期 2013年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2013年 第5問 (解答解説)

📝 問題

次の命題Pを証明したい．

命題P　次の条件(a)，(b)をともに満たす自然数（1以上の整数）Aが存在する．

  1. (a)　Aは連続する3つの自然数の積である．

  2. (b)　Aを10進法で表したとき，1が連続して99回以上現れるところがある．

以下の問いに答えよ．

  1. は自然数とする．このとき不等式

    が成り立つような正の実数の範囲を求めよ．

  2. 命題Pを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた不等式

について考える．展開して

をみたすを求める．よりさらに変形して

である．ここでが自然数，だから，第一式は常に成立し，第二式は常に不成立だから，求めるの条件は

である．

(2)

個 の各位の和は だから の倍数で，自然数 を用いて

とおける．これと， ( は (1)をみたす程度に十分大きく，かつ ) を (1)に代入して，

個個個個個個

となり，たしかに は条件（a）（b）を満たす．よって示された．

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