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東京大学 前期 2013年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2013年 第4問 (解答解説)

📝 問題

において， ，とする． の内部の点が

  1. ，を求めよ．

  2. ，，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

点 $P$ を原点とする直角三角形 $ABC$（$\angle CAB = \dfrac{\pi}{2}$）と等角配分（$\alpha = \beta = \dfrac{2}{3}\pi$）

図 1: 点 を原点とする直角三角形 （）と等角配分（）

とおく． 上図のように を原点とし を 軸正の方向とする座標をとる． が の内部にあるから， が にくるようにする． この時 に平行な単位ベクトルを各々 として，パラメータを用いて

と書ける．題意から だから，

である． に代入して

である． から で，(式4)から が従う．よって，

である．

(2)

とすると，

である．したがって，

である． よりであり，また だから(式10)を代入して

である．第一式からの時

だから第二式に代入して

である．(式11)の第三式を代入して

を得る．より

であるから(式12)に代入して

である．これを(式11)の第二式に代入して

だから(式17),(式18)より

である．まとめて

である．

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