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東京大学 前期 2013年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2013年 第1問 (解答解説)

📝 問題

実数，に対し平面上の点を

によって定める． このとき，次の条件(i)，(ii)がともに成り立つようなをすべて求めよ．

  1. (i)　

  2. (ii)　は相異なる．

✏️ 解答解説

【解答】

複素数平面上で点 に対応する複素数を とする． 与えられた漸化式

は，複素数表現で

と表される． であるから，一般項は

となる．ここでとして実数を用いて

とおくと，(式3)より

である．

条件 (i) よりだから (式5)で絶対値と偏角を比較して

である．ただし，最後で考えて良いのでの範囲を絞った．

$k=1, 5$ における単位円上の点 $P_n$ の配置

図 1: における単位円上の点 の配置

次に条件 (ii) について考えると，がに対して全て相異なれば良い． に対して個別で考えると

  1. : となり不適．

  2. : は全て異なり適する．

  3. : となり不適．

  4. : となり不適．

  5. : となり不適．

  6. : は全て異なり適する．

だから求めるのはの時で

である．

【別解】

後半は個別のについて検討しなくても以下のような議論も可能だ． 要するにに対してが互いに異なれば良い． (式6)を代入してたちが全て相異なるためには， がと互いに素でなければならない． すなわち，

である．

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