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東京大学 前期 2009年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2009年 第5問 (解答解説)

📝 問題

  1. 実数が，をみたすとき，次の不等式を示せ．

  2. 次の不等式を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

実数が

を満たすとする．与えられた不等式

の両辺は(式1)の元で正だから自然対数を取って

である．

とおくと(式1)の元で

を示せば良い．の微分は

である．(式1)の区間ではの符号はと等しい．

の時

この時は(式6)より だから は単調増加である． よって となって も単調増加である．よって，

だから(式4)は示された．

の時

この時は(式6)より となり， は単調減少である． よって となって は単調増加である．よって したがって

だから(式4)は示された．

から題意は示された．

(2)

(式2)の両辺にをかけると

だから，第一式に，第二式にを代入すると

だから題意は示された．

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