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東京大学 前期 2009年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2009年 第3問 (解答解説)

📝 問題

スイッチを1回押すごとに，赤，青，黄，白のいずれかの色の玉が1個， 等確率で出てくる機械がある． 2つの箱とを用意する． 次の3種類の操作を考える．

  1. (A)　1回スイッチを押し，出てきた玉をに入れる．

  2. (B)　1回スイッチを押し，出てきた玉をに入れる．

  3. (C)　1回スイッチを押し，出てきた玉と同じ色の玉が， になければその玉をに入れ，にあればその玉をに入れる．

  1. とは空であるとする． 操作(A)を5回おこない，さらに操作(B)を5回おこなう． このときにもにも4色すべての玉が入っている確率を求めよ．

  2. とは空であるとする． 操作(C)を5回おこなう． このときに4色すべての玉が入っている確率を求めよ．

  3. とは空であるとする． 操作(C)を10回おこなう． このときにもにも4色すべての玉が入っている確率をとする． を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

4色の玉の取り出し操作と2つの箱 $L, R$ への振り分け

図 1: 4色の玉の取り出し操作と2つの箱 への振り分け

に4色すべてが入っている確率を とすると，対称性からに4色すべてが入っている確率もである．よって求める確率 は

である． について，5回の操作で4つの色のうち3つの色が1回ずつ出て，残りの1色が2回出るので，

だから(式1)に代入して

である．

(2)

5回の操作で4色全てが現れるパターン（2回出る色が1つ，1回出る色が3つ）

図 2: 5回の操作で4色全てが現れるパターン（2回出る色が1つ，1回出る色が3つ）

5回の操作で4色全てが少なくとも1回出れば良く，この確率はである． (式3)より求める確率は

である．

(3)

10回の操作で4色すべてが2回以上現れる2つのパターンの分類

図 3: 10回の操作で4色すべてが2回以上現れる2つのパターンの分類

10回の操作で，4色全てが少なくとも2回出れば良い．この時，残りの2つの玉について，

  1. 　2つとも同じ色

  2. 　2つとも違う色

がありうる． の時は色が回出るので，その確率は

である．

の時は色が回出るので，その確率は

だから，求める確率は(式6),(式7)の和で

となる．

(1)とあわせて，

である．

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