東京大学 前期 2008年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

正八面体は上図のように正三角形が枚繋がってできた立体であり，上面と底面は平行である．真上から正八面体を見た時の図は従って，これらの点が作る図形になる．正三角形の一辺として一般性を失わない．またとしてとかき，とする．

上図のように三角形の重心を原点とし，

とする． 点について考えるとからは線分の二等分面の上にある． 同様に考えるとは平面の，は平面の上にある．従ってその座標はこれらの点の座標をとして

と書ける．

従ってこれらの点を軸正の方からみた時の座標への射影は下図のようになり，これは正六角形である．

(2)

正八面体の6頂点 とし，面 ABC，面 DEF の重心を とする．直線 を とおく． は面 ABC，面 DEF と垂直である． とおき， なる点 を含み に垂直な平面で立体を切断する．この時の断面は右図である．下図のように頂点をおく．

三角形の相似から

となり，これを回転させた面積 は

である．に三平方の定理を用いて

だから(式4)に代入して

である．

次に線分の中点をとして に三平方の定理を用いて

だから，

である．

よって(式6),(式8)を(式4)に代入して求める体積 は

である．

【別解】

(2)

(1)を生かすなら，正六角形の中に切断面を配置する解法もありうる． 上図でに余弦定理を用いて

となる(以下略)．