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東京大学 前期 2008年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2008年 第2問 (解答解説)

📝 問題

白黒2種類のカードがたくさんある． そのうち枚のカードを手もとにもっているとき，次の操作(A)を考える．

  1. (A)　手持ちの枚の中から1枚を，等確率で選び出し，それを違う色のカードにとりかえる．

以下の問(1)，(2)に答えよ．

  1. 最初に白2枚，黒2枚，合計4枚のカードをもっているとき，操作(A)を回繰り返した後に初めて，4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ．

  2. 最初に白3枚，黒3枚，合計6枚のカードをもっているとき，操作(A)を回繰り返した後に初めて，6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

白のカードの枚数は，帰納的に奇回目の操作後には奇数枚である． カードの枚数は枚だから，奇回目の操作後には黒も奇数枚である． そこで， 回目の操作の後について，以下のようになる確率をおく．

はじめて白枚白枚

すると対称性から初めて黒が枚（つまり初めて白が4枚）になる確率もだから，求める確率はである．

$2k$ 回目の操作から $2k+2$ 回目の操作への状態遷移図

図 1: 回目の操作から 回目の操作への状態遷移図

上の遷移図から漸化式は

であり，初期条件から である．従っての一般項は

だから，第一式に代入して

である．従って求める確率は

である．

(2)

求める確率を とすると，(1)と同様に考えると の時 である． 回目操作後について，対称性も考慮して以下のようにおく．

初めて白枚白枚白枚初めて白枚
$2k-1$ 回目の操作から $2k+1$ 回目の操作への状態遷移図

図 2: 回目の操作から 回目の操作への状態遷移図

求める確率はである． 遷移図から漸化式は

である．初項はだから漸化式を解いて

だから，第一式に代入して

である．よって

だから，と合わせて求める確率は

である．

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