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東京大学 前期 2007年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2007年 第2問 (解答解説)

📝 問題

を2以上の整数とする． 平面上に個の点，，，，があり，次の2つの条件をみたしている．

  1. ①　 ，

  2. ②　線分の長さは1，線分の長さはである．

線分の長さをとし，とおくとき，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意よりについて考える． 簡単のため

とおく．題意より

である．

三角形 $OP_{k-1}P_k$ における辺と角の関係

図 1: 三角形 における辺と角の関係

三角形 $OP_0P_1$ における辺と角の関係（$k=1$ の場合）

図 2: 三角形 における辺と角の関係（ の場合）

さて に正弦定理を用いると

だから，について

である．初期条件(式2)より(式4)でとして

だから，(式4)に代入して

だから，(式2)の初期条件の元で漸化式を繰り返し用いて

である．簡単のためとおくとである．

次に，を求めるために に余弦定理を用いて

だから， として足し合わせて

である．ここでの時であって，

だから(式13)に代入して

である．

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