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東京大学 前期 2007年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2007年 第3問 (解答解説)

📝 問題

座標平面上の2点，が，曲線 上を自由に動くとき，線分をに内分する点が動く範囲をとする． ただし，のときはとする．

  1. ををみたす実数とするとき，点がに属するためのの条件をを用いて表せ．

  2. を図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

題意より と置く． とするとこれは線分のの内分点だから

である． 前者から を消去して だから，後者との定義域に代入して

である．第1,2式の領域を図示すると下図のようになる． そこで(式3)のもとでののとりうる値を調べる．

点 $R(a,b)$ の存在範囲を定める $(a,\alpha)$ 平面上の定義域

図 1: 点 の存在範囲を定める 平面上の定義域

を平方完成すると

だから軸の位置はなので，求めるべきのとりうる値は以下のようになる．

の時の時の時の時の時の時の時の時

(2)

(式6)の領域を図示すると下図の斜線部（領域含む）となる．

点 $R(a,b)$ がとりうる存在範囲（$(a,b)$ 平面上の斜線部，境界を含む）

図 2: 点 がとりうる存在範囲（ 平面上の斜線部，境界を含む）

【解説】

(式3)はの斑点に対して対称なので，で考えれば十分である． 答えもちゃんと対称になっているので検算として使える．

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