東京大学前期 2007年第5問 (解答解説)

表が出る確率が，裏が出る確率がであるような硬貨がある．ただし，とする．この硬貨を投げて，次のルール(R)の下で，ブロック積みゲームを行う．

$ブロックの高さは，最初はとする．硬貨を投げて表が出れば高さのブロックをつ積み上げ，裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さに戻す．$ \ を正の整数，ををみたす整数とする．

回硬貨を投げたとき，最後にブロックの高さがとなる確率を求めよ．
(1)で，最後にブロックの高さが以下となる確率を求めよ．
ルール(R)の下で，回の硬貨投げを独立に2度行い，それぞれ最後のブロックの高さを考える． 2度のうち，高い方のブロックの高さがである確率を求めよ．ただし，最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする．

【解答】

のもとで考える．

回投げてブロックの高さがとなるのは以下の場合である．

まずの時，回目に裏が出てブロックの高さがになったあと，回連続で表が出る確率だから

である．

一方の時は回とも表だから

である．(式1),(式2)をまとめて

である．

題意よりである．かどうかで場合分けして(式3)を代入する．まずの時は

である．

一方での時はを足し合わせると全ての事象を尽くすから，

である．(式4),(式5)をまとめて

である．

2つのブロックをとおきその高さをで表す．包除原理から，

である．かどうかで場合分けして(1),(2)の結果を代入する．

まずの時は(式3),(式6)より

である．

ついでの時は(式3),(式6)より

である．

以上(式8),(式9)をまとめて

である．

ちなみにだが，だから，はだけで

となる．よって(2)だけからも計算できる（以下略）．