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東京大学 前期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2005年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を正の実数とする．空間において

をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

体積を求める領域のうち$x,y,z \ge 0$の部分

図 1: 体積を求める領域のうちの部分

簡単のため各軸を倍して考える．題意の体積をとする． 与えられた領域で各軸を倍した

を満たす立体の体積をとすると，

が成り立つ． 対称性からさらに，を満たす部分の体積とすると，

である．(式2),(式3)より

である．

での切断面を考えると，(式1)に代入してかつより

だから，の存在条件およびより

である．

そこでパラメータをとして， での切断面を考える．以下簡単のためとすると (式1)より

であって，この領域は下図斜線部である．

切断面 $x = s$ における斜線部 $S(\theta)$の様子

図 2: 切断面 における斜線部 の様子

この斜線部の面積として，

扇形

であるから，これを積分した体積は

である．

各項を個別に計算して，

第一項第二項第三項第四項

であるから(式11)に代入して，

である．これを(式3)に代入して

である．(答)

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