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東京大学 前期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2005年 第2問 (解答解説)

📝 問題

となるどのような複素数に対してもとは表されない複素数全体の集合をとする． すなわち，

ならば

とする．このとき，に属する複素数で絶対値が最大になるようなの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた条件

を逆にとくと

だから，

だから，の要素は

である． の存在領域は下図斜線部 (境界含む)になる．

$t = \sqrt{1+w}$ の存在領域（2 円の共通部分）

図 1: の存在領域（2 円の共通部分）

ここで

とおく．(式4)に代入すると

である． (式5)を逆に解いて

だから，

である．以上から，(式7)の範囲で(式10)の最大値を求めれば良い． 対称性から，以下で考える．

第 1 象限における $(x, y)$ の許容領域と，$x$ 固定時の $|w|^2$ の単調性

図 2: 第 1 象限における の許容領域と， 固定時の の単調性

まずを固定して考える．(式8)はについての二次方程式で，(式7)かつの範囲ではで最大で

をとる．次にを動かすと で最大値 をとる． したがって が最大の時 でこの時(式8)からを求めると

である．

【別解】

与えられた式を の2次方程式とみなし，その2解を とする． 解と係数の関係より

だから，これが成り立つなら となるような をかんがえれば良い．(式14)の第二式で絶対値をとると

であり，等号が成立する時は で十分である． この時は である．\hfill

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