【解答】
与えられた関数
について考える．
(1)
(式1)の両辺をで回まで微分して
および
だから，の増減表は以下のようになる．
| | | | | |
|---|
| | | | | |
| | | | | |
| | \curvearrowright（上に凸で増加） | （変曲点） | \curvearrowright（下に凸で増加） | |
表 1: の増減表
図 1: のグラフ
従っての範囲では
である．
(2)
を(式1)から辺々引いて
を得る．
さて，なるがある時は(式7)からなる任意のに対し，だから，である．
そこで以下すべてのでの場合を考える．の増減表からの時は単調増加で
だから，題意よりの時，帰納的に任意のに対しである．
このことに注意すると平均値の定理から
なるがある．(式7)および(1)の結果より
である．よってこれをくり返し用いて，
だから，挟み撃ちの定理より
である．
【解説】
の不動点はだから，そこに収束することがわかる．
図 2: のグラフと漸化式 の収束の様子
